Kerkje van Oostum, 1941

Elzer was een zoon van notaris Gabe Elzer en Sjoerdtje Rodenburg. Hij verhuisde in 1927 met zijn ouders van Friesland naar ’t Zandt op het Groninger platteland. Na de hbs, waar hij tekenles had van Jan Derksen Staats, volgde hij een opleiding aan Academie Minerva in de stad Groningen. Elzer wilde zich wijden aan de schilderkunst, hij kreeg privélessen van Jan Altink. In 1936 publiceerde hij een dichtbundel Verzen. In 1938 had hij zijn eerste tentoonstelling in het Ebbingehuis in Groningen.

In 1941 werd Elzer een voorlopig lidmaatschap van de kunstkring De Ploeg toegekend. Hij trouwde een jaar later met Dieuwerke Grietje (Diete) Coolman. Hendrik Werkman ontwierp de trouwkaart.

Elzer hield zich vooral bezig met landschapschilderkunst en portretten. Hij werkte aanvankelijk figuratief, vanaf eind jaren zestig vooral abstract. In de jaren zestig recenseerde hij regelmatig tentoonstellingen in het Nieuwsblad van het Noorden. Ook verzorgde hij een inleidende catalogustekst voor een herdenkingstentoonstelling (1964) in Warffum van het werk van zijn vriend en kunstbroeder Riekele Prins.

Eind jaren zestig ging Elzer over op het maken van zuiver abstract werk, hoewel de figuratie voor hem belangrijk blééf. Zijn nauwe band met De Ploeg heeft zo’n veertig jaar geduurd: in 1980 gaf hij het penningmeesterschap op tijdens een tentoonstelling die hem ter ere van zijn 65ste verjaardag door Pictura was aangeboden.

In 1980 werd, ter gelegenheid van zijn zestigste verjaardag, een tentoonstelling gehouden bij Pictura. Hij legde in dat jaar zijn functie als penningmeester van De Ploeg neer en zegde kort daarop zijn lidmaatschap op.

In 1994 startte het Centrum Beeldende Kunst in Groningen een zoektocht naar werk van Elzer voor een overzichtstentoonstelling, die in december 1995 plaatsvond. Elzer maakte de tentoonstelling niet meer mee, hij overleed in oktober 1995, op 80-jarige leeftijd.